Егор Зайцев — воспитанник хоккейной школы «Динамо» им. А. И. Чернышева.
Профессиональную карьеру начал в молодежной команде «Динамо» в 2014 году. В следующем году стал игроком команды ВХЛ, а через год дебютировал за «Динамо» в Чемпионате КХЛ. С фарм-клубом бело-голубых стал победителем Чемпионата ВХЛ в сезоне 2016/17.
В 2017 году был выбран на Драфте НХЛ под общим 205-м номером клубом «Нью-Джерси Девилз». Регулярно привлекался к игре за национальную команду на юниорском и молодежном уровнях. Был капитаном молодежной сборной России на Молодежном чемпионате мира – 2018.
Перед началом сезона 2021/22 на счету Егора Зайцева 239 проведенных матча и 33 набранных очков (7+26) в Чемпионате КХЛ.
Победитель Чемпионата ВХЛ — 2017
Обладатель Кубка мэра Москвы — 2018
Обладатель Кубка мэра Москвы — 2019
Третий призер чемпионата России — 2020