Егор Брызгалов — воспитанник кировской хоккейной команды «Вятка». 

Профессиональную карьеру начал в молодежной команде бело-голубых в 2017 году. С ней он суммарно провел 107 игр, и в последнем сезоне был назначен капитаном.

В сезоне 2019/20 Иван дебютировал в ВХЛ за «Динамо» Тверь (с июня 2020 года — «Динамо» Московская область). В этот период стал вторым призером чемпионата мира U18, Эрншёльдсвик, Умео (Швеция).

Сезон 2020/21 хоккеист провел в составе основной команды «Динамо» Москва 26 матчей и отличился тремя заброшенными шайбами. Также выступал в ВХЛ, а в составе МХК «Динамо» стал обладателем Кубка Харламова.