Артем Ильенко родился 30 апреля 1996 года в Ярославле. Всю карьеру форвард провел в ярославском «Локомотиве». Уже в возрасте четырех лет впервые встал на коньки, а чуть позже начал заниматься в группе ребят 1995 года рождения, которыми руководил Николай Станиславович Казакевич, ставший первым тренером Ильенко.

Дебют Артема в КХЛ состоялся 14 октября 2015 года в домашней встрече с «Трактором», тогда он провел на льду чуть больше трех минут. Вскоре нападающий забил свой первый гол, отличившись в гостевом поединке как раз с московским «Динамо». На посту главного тренера ярославцев в тот год трудился действующий наставник динамовцев Алексей Кудашов.