Егор Морозов родился 23 апреля 1995 года в Тольятти и является воспитанником тольяттинского хоккея.

В 2007 году стал игроком молодежной команды казанского «Ак Барса», в котором отыграл три сезона. Профессиональную спортивную карьеру начал в 2013 году, подписав трехлетний контракт с донецким «Донбассом». По окончании его действия нападающий перешел в ХК «Сочи».

С 2019 года Егор Морозов выступал за череповецкую «Северсталь». Всего в КХЛ на счету хоккеиста 353 игры и 108 (51+57) очков.