Андрей Никонов начал свою карьеру в «Спартаке» из Чебоксар. В 2017 году перешел в систему нижегородского «Торпедо», где успешно дебютировал в Молодежной хоккейной лиге. Всего в МХЛ нападающий провел 123 матча, в которых набрал 39 (16+23) очков. В сезоне 2019/2020 нападающий дебютировал в КХЛ.