Максим Джиошвили родился 15 января 1996 года в Москве. Начал заниматься хоккеем в раннем возрасте в школе «Марьино». В 2006 году перешел в школу московского «Динамо», где провел шесть лет, после чего попробовал свои силы в Северной Америке. Нападающий дебютировал в КХЛ ещё в феврале 2016 года, сыграв 10 минут за «Витязь» в заключительном матче регулярного чемпионата против «Северстали». В следующем сезоне форвард принял участие ещё в шести играх регулярки КХЛ, после чего на долгие годы завис в клубах Высшей хоккейной лиги. На протяжении четырех сезонов Джиошвили выступал за петербургское «Динамо», а в межсезонье 2022 года сумел пробиться в основной состав московского «Динамо».