Иван Бочаров — воспитанник хоккейной школы «Динамо» им. А. И. Чернышева.

Профессиональную карьеру начал в молодежной команде бело-голубых в 2012 году. С ней стал бронзовым призером Чемпионата МХЛ сезона 2012/13. В следующем сезоне стал обладателем Кубка Вызова МХЛ и лучшим вратарем сезона МХЛ.

В сезоне 2015/16 Иван дебютировал в ВХЛ в качестве голкипера красноярского «Сокола», однако его пребывание в Красноярске было недолгим. Год спустя Бочаров вернулся в систему бело-голубых и с фарм-клубом «Динамо» стал победителем Чемпионата ВХЛ, самым ценный игрок плей-офф Братины и лучшим новичком сезона.

Дебютным в КХЛ для голкипера стал сезон 2017/18. Закрепиться в основе у Ивана получилось быстро, и он уже не раз радовал болельщиков бело-голубых своей уверенной игрой и красивыми спасениями. В этом же году молодой вратарь дебютировал в матчах за олимпийскую сборную России. В 2020 году стал участником Матча Звезд КХЛ.

Перед началом сезона 2019/20 на счету Ивана Бочарова 64 проведенных матча в Чемпионате КХЛ, 93,0% отражённых бросков и коэффициент надежности 2,09.